Campo generato da un filo infinito
Dato che la prof aveva fatto solo le onde sferiche e piane ho pensato di ricavare quelle cilindriche. Mi sono spaccato il culo di calcoli per farlo quindi almeno lo condivido.
Consideriamo l’equazione delle onde in uno spazio 3d, con una sorgente distribuita lungo l’asse $z$, in modo da non avere dipendenza né dalla coordinata $z$ né dall’angolo $\phi$. In tal caso, la funzione d’onda $u(x,y,t)$ dipende solo dalla distanza radiale $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ dal filo e dal tempo $t$, come intuitivamente ci aspettiamo.
Equazione delle onde in coordinate cilindriche
L’equazione delle onde nel vuoto (senza sorgenti) è: $$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u. $$
In coordinate cilindriche $(r,\phi,z)$, se non c’è dipendenza da $\phi$ e $z$, il laplaciano si riduce a: $$ \nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}. $$
Quindi l’equazione delle onde diventa: $$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\left(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}\right). $$
Proposta di una soluzione
Nel caso di onde sferiche in 3D, la soluzione tipica ha la forma $u(r,t) = \frac{1}{r}f(t - r/c)$. In 2D (o in questo scenario cilindrico), la dipendenza tipica delle onde radiali è diversa: l’ampiezza decresce come $1/\sqrt{r}$.
Proviamo dunque una soluzione del tipo: $$ u(r,t) = \frac{1}{\sqrt{r}}F\left(t - \frac{r}{c}\right). $$
Non ci resta che verificare la correttezza.
Calcolo delle derivate
- Derivata rispetto a $t$:
Definiamo $\xi = t - r/c$.
$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{\sqrt{r}}F(\xi)\right) = \frac{1}{\sqrt{r}}F’(\xi)\frac{\partial \xi}{\partial t}. $$
Poiché $\xi = t - r/c$ ed $r$ non dipende da $t$, $\frac{\partial \xi}{\partial t} = 1$.
$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{\sqrt{r}}F’(\xi). $$
La seconda derivata rispetto a $t$: $$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{1}{\sqrt{r}}F’’(\xi). $$
- Derivata rispetto a $r$:
$$ \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{\sqrt{r}}F(\xi)\right). $$
Abbiamo due funzioni: $1/\sqrt{r}$ e $F(\xi)$. Inoltre, $\frac{\partial \xi}{\partial r} = -\frac{1}{c}$.
$$ \frac{\partial u}{\partial r} = F(\xi)\frac{d}{dr}\left(r^{-1/2}\right) + \frac{1}{\sqrt{r}}F’(\xi)\frac{\partial \xi}{\partial r}. $$
Calcolando la derivata di $r^{-1/2}$: $$ \frac{d}{dr}(r^{-1/2}) = -\frac{1}{2}r^{-3/2}. $$
Quindi: $$ \frac{\partial u}{\partial r} = F(\xi)\left(-\frac{1}{2r^{3/2}}\right) + \frac{1}{\sqrt{r}}F’(\xi)\left(-\frac{1}{c}\right). $$
$$ \frac{\partial u}{\partial r} = -\frac{F(\xi)}{2r^{3/2}} - \frac{F’(\xi)}{c\sqrt{r}}. $$
Ora la seconda derivata rispetto a $r$: $$ \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} = \frac{\partial}{\partial r}\left(-\frac{F(\xi)}{2r^{3/2}} - \frac{F’(\xi)}{c\sqrt{r}}\right). $$
Spariamo tutto dentro l’equazione e vediamo che è identicamente soddisfatta, la soluzione è corretta!
We did it
Siamo giunti quindi a: $$ u(r,t) = \frac{1}{\sqrt{r}}F\left(t-\frac{r}{c}\right) $$ che rappresenta un’onda cilindrica che si propaga verso l’esterno da un filo. L’ampiezza diminuisce come $1/\sqrt{r}$, a differenza delle onde sferiche che diminuiscono come $1/r$.
Gooooooooooooood!