Campo generato da un filo infinito

Consideriamo l’equazione delle onde in uno spazio 3d, con una sorgente distribuita lungo l’asse $z$, in modo da non avere dipendenza né dalla coordinata $z$ né dall’angolo $\varphi$. In tal caso, la funzione d’onda $u(x,y,t)$ dipende solo dalla distanza radiale $r=\sqrt{x^2+y^2}$ dal filo e dal tempo $t$, come intuitivamente ci aspettiamo.

Equazione delle onde in coordinate cilindriche

L’equazione delle onde nel vuoto (senza sorgenti) è: ∂2u∂t2=c2∇2u.

In coordinate cilindriche $(r,\varphi ,z)$, se non c’è dipendenza da $\varphi$ e $z$, il laplaciano si riduce a: ∇2u=∂2u∂r2+1r∂u∂r.

Quindi l’equazione delle onde diventa: ∂2u∂t2=c2(∂2u∂r2+1r∂u∂r).

Proposta di una soluzione

Nel caso di onde sferiche in 3D, la soluzione tipica ha la forma $u(r,t)=\frac{1}{r}f(t-r/c)$. In 2D (o in questo scenario cilindrico), la dipendenza tipica delle onde radiali è diversa: l’ampiezza decresce come $1/\sqrt{r}$.

Proviamo dunque una soluzione del tipo: u(r,t)=1√rF(t−rc).

Non ci resta che verificare la correttezza.

Calcolo delle derivate

1. Derivata rispetto a $t$:

Definiamo $\xi =t-r/c$.

∂u∂t=∂∂t(1√rF(ξ))=1√rF’(ξ)∂ξ∂t.

Poiché $\xi =t-r/c$ ed $r$ non dipende da $t$, $\frac{\partial \xi }{\partial t}=1$.

∂u∂t=1√rF’(ξ).

La seconda derivata rispetto a $t$: ∂2u∂t2=1√rF’’(ξ).

2. Derivata rispetto a $r$:

∂u∂r=∂∂r(1√rF(ξ)).

Abbiamo due funzioni: $1/\sqrt{r}$ e $F(\xi )$. Inoltre, $\frac{\partial \xi }{\partial r}=-\frac{1}{c}$.

∂u∂r=F(ξ)ddr(r−1/2)+1√rF’(ξ)∂ξ∂r.

Calcolando la derivata di $r^{-1/2}$: ddr(r−1/2)=−12r−3/2.

Quindi: ∂u∂r=F(ξ)(−12r3/2)+1√rF’(ξ)(−1c).

∂u∂r=−F(ξ)2r3/2−F’(ξ)c√r.

Ora la seconda derivata rispetto a $r$: ∂2u∂r2=∂∂r(−F(ξ)2r3/2−F’(ξ)c√r).

Spariamo tutto dentro l’equazione e vediamo che è identicamente soddisfatta, la soluzione è corretta!

We did it

Siamo giunti quindi a: u(r,t)=1√rF(t−rc)