Campo generato da un filo infinito
Consideriamo l’equazione delle onde in uno spazio 3d, con una sorgente distribuita lungo l’asse $z$, in modo da non avere dipendenza né dalla coordinata $z$ né dall’angolo $\phi$. In tal caso, la funzione d’onda $u(x,y,t)$ dipende solo dalla distanza radiale $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ dal filo e dal tempo $t$, come intuitivamente ci aspettiamo.
Equazione delle onde in coordinate cilindriche
L’equazione delle onde nel vuoto (senza sorgenti) è: $$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u. $$
In coordinate cilindriche $(r,\phi,z)$, se non c’è dipendenza da $\phi$ e $z$, il laplaciano si riduce a: $$ \nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}. $$
Quindi l’equazione delle onde diventa: $$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\left(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}\right). $$
Proposta di una soluzione
Nel caso di onde sferiche in 3D, la soluzione tipica ha la forma $u(r,t) = \frac{1}{r}f(t - r/c)$. In 2D (o in questo scenario cilindrico), la dipendenza tipica delle onde radiali è diversa: l’ampiezza decresce come $1/\sqrt{r}$.
Proviamo dunque una soluzione del tipo: $$ u(r,t) = \frac{1}{\sqrt{r}}F\left(t - \frac{r}{c}\right). $$
Non ci resta che verificare la correttezza.
Calcolo delle derivate
- Derivata rispetto a $t$:
Definiamo $\xi = t - r/c$.
$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{\sqrt{r}}F(\xi)\right) = \frac{1}{\sqrt{r}}F’(\xi)\frac{\partial \xi}{\partial t}. $$
Poiché $\xi = t - r/c$ ed $r$ non dipende da $t$, $\frac{\partial \xi}{\partial t} = 1$.
$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{\sqrt{r}}F’(\xi). $$
La seconda derivata rispetto a $t$: $$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{1}{\sqrt{r}}F’’(\xi). $$
- Derivata rispetto a $r$:
$$ \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{\sqrt{r}}F(\xi)\right). $$
Abbiamo due funzioni: $1/\sqrt{r}$ e $F(\xi)$. Inoltre, $\frac{\partial \xi}{\partial r} = -\frac{1}{c}$.
$$ \frac{\partial u}{\partial r} = F(\xi)\frac{d}{dr}\left(r^{-1/2}\right) + \frac{1}{\sqrt{r}}F’(\xi)\frac{\partial \xi}{\partial r}. $$
Calcolando la derivata di $r^{-1/2}$: $$ \frac{d}{dr}(r^{-1/2}) = -\frac{1}{2}r^{-3/2}. $$
Quindi: $$ \frac{\partial u}{\partial r} = F(\xi)\left(-\frac{1}{2r^{3/2}}\right) + \frac{1}{\sqrt{r}}F’(\xi)\left(-\frac{1}{c}\right). $$
$$ \frac{\partial u}{\partial r} = -\frac{F(\xi)}{2r^{3/2}} - \frac{F’(\xi)}{c\sqrt{r}}. $$
Ora la seconda derivata rispetto a $r$: $$ \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} = \frac{\partial}{\partial r}\left(-\frac{F(\xi)}{2r^{3/2}} - \frac{F’(\xi)}{c\sqrt{r}}\right). $$
Spariamo tutto dentro l’equazione e vediamo che è identicamente soddisfatta, la soluzione è corretta!
We did it
Siamo giunti quindi a: $$ u(r,t) = \frac{1}{\sqrt{r}}F\left(t-\frac{r}{c}\right) $$ che rappresenta un’onda cilindrica che si propaga verso l’esterno da un filo. L’ampiezza diminuisce come $1/\sqrt{r}$, a differenza delle onde sferiche che diminuiscono come $1/r$.